私生子继承财产的方式主要 依据《中华人民共和国民法典》的相关规定，具体如下：
在没有遗嘱和遗赠扶养协议的情况下，私生子可以按照第一顺序继承人的身份参与法定继承。私生子作为子女，与婚生子女、养子女以及有扶养关系的继子女一样，享有同等的继承权。在法定继承中，第一顺序继承人包括配偶、子女、父母，私生子作为子女的一部分，有权继承父母的遗产。
如果私生子的父母立下了遗嘱，并且在遗嘱中明确指定了私生子为财产的继承人，那么私生子可以依据遗嘱的内容继承相应的财产。遗嘱继承优先于法定继承，只要遗嘱合法有效，私生子可以直接按照遗嘱继承财产，而不受法定继承的限制。
在实际操作中，如果私生子需要继承遗产但无法通过协商确定身份，可以通过亲子鉴定等方式确认其身份。法院可以根据亲子鉴定的结果和其他证据，判决确认私生子的继承权，使其能够合法继承遗产。
在法定继承中，如果没有第一顺序继承人，财产将由第二顺序继承人继承，如兄弟姐妹、祖父母、外祖父母。私生子作为第一顺序继承人，其继承比例通常与其他第一顺序继承人相同，但也可以根据继承人之间的协商进行不均等分配。
综上所述，私生子继承财产的方式主要包括法定继承和遗嘱继承，且私生子享有与婚生子女同等的继承权。如果存在遗嘱且遗嘱合法有效，私生子可以直接依据遗嘱继承财产。在法定继承情况下，私生子作为第一顺序继承人，有权继承父母的遗产，并且其继承比例通常与其他第一顺序继承人相同，但也可以根据协商进行不均等分配。
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